2016年数学三考研真题解析(2016年数学三考研真题解析答案)



2016年数学三考研真题解析,2016年数学三考研真题解析答案

大家好!本文和大家分享一道2016年江苏高考数学真题。这道题是2016年江苏高考数学试卷的第4道解答题,综合考查了圆的标准方程、直线的方程以及参数的取值范围等知识。这是一道非常经典的考查圆的综合知识的题目,高中生应该好好掌握。

先看第一小问:求圆的标准方程。

由于圆N与x轴相切,那么圆N的半径就等于圆心N的纵坐标的绝对值。从题意可以看出,圆N只能在x轴的上方,所以圆N的半径就等于圆心N的纵坐标。

因为圆心N在直线x=6上,所以可以设圆心N的坐标为N(6,n),从而设圆N的标准方程为(x-6)^2+(y-n)^2=n^2。

接下来只需要求出n的值即可。

由于圆N与圆M外切,那么圆心距|MN|等于两圆半径之和,即n+5。又两圆圆心都在直线x=6上,则圆心距又等于|n-7|,所以有|n-7|=n+5,解得n=1,从而得到圆N的标准方程。

再看第二小问:求直线的方程。

由于A(2,4),则|OA|=2√5,直线OA的斜率为2。因为直线l与OA平行,所以可设直线l的方程为:y=2x+b。接下来只需根据圆的弦长求出b的值就可以求出直线l的方程。

圆的弦长问题优先考虑使用几何法。圆心M到直线l的距离为d=|12-7+b|/√5=|5+b|/√5,则弦BC的长为|BC|=2√(r^2-d^2)=2√5,解得b=5或b=-15,即直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15。

当然,弦长问题也可以使用弦长公式求解。即建立直线l的方程y=2x+b与圆M的方程x^2+y^2-12x-14y+60=0,消去y后得到关于x的一元二次方程,然后用韦达定理表示出两根之和与两根之积。接着再用弦长公式即可求出b的值,从而得到直线l的方程。

最后看第三小问:求参数的取值范围。

题干中给了一个向量关系式,但是直接使用的话不容易发现内在的关联,所以我们先进行适当的变形。即将TP向量移到右边,然后根据向量的减法就得到了PQ向量,故TA向量=PQ向量,从而有|TA|=|PQ|。

|TA|=√[(t-2)^2+4],而线段PQ为圆M上的弦,故其长度肯定小于圆M的直径,|PQ|≤10,即√[(t-2)^2+4]≤10,解得2-2√21≤t≤2+2√21。

而对于任意在上述范围内的t,要使|TA|=|PQ|≤10,只需要作TA的平行线,且与圆M相交,只要圆心M到所作直线的距离为√(25-|TA|^2/4),那么必然满足条件,从而得到t的取值范围。

这道题第三小问还是有一定难度,但是第一二小问可以说是送分题,你觉得呢?

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